E quando o síndico fica inadimplente?

Embora a legislação não se pronuncie diretamente sobre esse problema, a solução lógica seria a renúncia voluntária, por questões práticas e éticas. Veja os motivos:

1. A presença do síndico é fundamental nas assembleias. E este, como qualquer condômino, não pode participar das deliberações assembleares, nem votar, de acordo com o Código Civil. O artigo 1335, inciso III, institui que "São direitos do condômino (...) votar nas deliberações da assembleia e delas participar, estando quite." Ou seja, são direitos que o inadimplente perde.
2. Também é muito importante nas assembleias a presença e participação dos conselheiros e do subsíndico, no que diz respeito às tarefas que desempenham, auxiliando e fiscalizando o síndico.
3. Como o síndico é o responsável legal pela cobrança dos inadimplentes (CC, artigo 1348, inciso VII), cria-se um embaraço prático e ético: como vai representar o condomínio numa cobrança judicial contra si mesmo?  

Algumas dicas de como proceder

• Deve-se também consultar a Convenção do condomínio a respeito.
• A remuneração do síndico, ou dispensa de pagamento de taxas ordinárias, deve ser prevista em Convenção ou ter sido aprovada na assembleia que o elegeu, constando em ata. Isto é previsto pela Lei dos Condomínios, artigo 22, parágrafo 4º. A Lei dos Condomínios continua em vigor nos pontos em que não foi alterada pelo Código Civil.
• Normalmente, quando há dispensa de pagamento de condomínio para o síndico, esta benefício se restringe às taxas ordinárias, mensais, de manutenção. 
• Os condôminos também podem decidir destituir o síndico, ou outros membros do corpo diretivo, pela inadimplência. Para destituir o síndico, é preciso voto da maioria absoluta (metade mais um) dos membros da assembleia, de acordo com o Código Civil, artigo 1349. Os membros da assembleia são todos os condôminos que estão quites com o condomínio, e não apenas os presentes.
• Para aprovar a destituição do subsíndico ou de um conselheiro, observe a votação requerida pela Convenção do condomínio. Se esta silenciar, vale o disposto nos artigos 1352 e 1353 do Código Civil, que é a  maioria de votos dos condôminos presentes que representem pelo menos metade das frações ideais em primeira convocação, ou maioria dos presentes, em segunda convocação.
• De acordo com o Código Civil, artigo 1355, "assembleias extraordinárias poderão ser convocadas pelo síndico ou por um quarto dos condôminos."
• Sobre convocação de assembleias, observe também o que a Convenção do seu condomínio dispõe.
• Em último caso, se estas instâncias não solucionarem o problema, um condômino ou um grupo de condôminos pode buscar uma solução judicial para o impasse, através do Juizado Especial Cível, que não requer o intermédio de advogados em causas de vizinhança que não envolvam disputa monetária.